Moment Quadratique

Le moment quadratique est une caractéristique d'une section droite de poutre, autrement dit, cela concerne une surface.
La définition du moment quadratique d'un élément de surface par rapport à un axe (z, par exemple), c'est dI_Gz = y² dS = y² dy dz (car la section droite est dans le plan yz, normal à la fibre neutre repérée par x). L'unité est le m⁴ (ou un sous-multiple, comme le mm⁴)

Le moment d'inertie, c'est un peu plus "facile" à appréhender, dans la mesure ou c'est un terme inerte en rotation. On se rend bien compte que pour faire tourner quelque chose rapidement (plus exactement de l'accélérer en rotation), la position de la matière par rapport à l'axe de rotation est importante (plus facile, par exemple, de faire tourner une barre cylindrique autour de son axe de révolution qu'autour d'un axe qui passerait par son centre de gravité, mais perpendiculaire à son axe de révolution)
La définition du moment d'inertie d'une masse ponctuelle, c'est dJ_Gz = d² dm = d² rho dx dy dz (rho masse volumique).
Autrement dit, si la masse ponctuelle est sur l'axe y, son moment d'inertie est (rho dx) y² dy dz, donc a une forme très similaire à celle du moment quadratique, d'où l'abus de langage qui consiste a appeler "moment d'inertie" un moment quadratique. L'unité est cependant le kg.m².

Mais bon. Quand on va chez le boucher, on ne lui demande pas deux Newton de steack dans la tranche...

olivier25, sur la dernière ligne, b³/12 -> b⁴/12 non ? même si cela ne change pas le raisonnement.

Ce pinaillage étant fait, je n'ai malheureusement pas non plus de réponse intuitive à "Pourquoi le carré de la distance ?"
Une petite expérience virtuelle peut-elle faire un bon ersatz ?

Dans un plan (shadock inside), je prends une tige indéformable de longueur L, à une de ses extrémités (E1) elle est fixée par un pivot sur lequel, je peux exercer un couple arbitraire (un ressort en spirale par exemple). Je place un ressort de traction entre un point fixe et l'autre extrémité (E2) de la tige.

Je tire sur E2 perpendiculairement à la tige avec une force F, E2 se déplace de "d" (relié à la raideur du ressort), la tige tourne d'un angle alpha tel que tan(alpha)=d/L, la tige est en équilibre, donc le ressort en spirale exerce sur la tige un couple qui vaut F*L. La "raideur en rotation" du système est de (F*L)/alpha.

Je recommence la même expérience avec une tige de longueur double 2*L et le même ressort de traction. Pour que la tige tourne du même angle alpha, E2 se déplace 2x plus, la force exercée par le ressort de traction est donc 2xplus importante (2*F). Le couple exercé par le ressort en spirale vaut (2*F)*(2*L) = 4*F*L. Le système est 4 (2^2) fois plus raide en rotation.

Si je dis que la longueur de la tige, c'est la distance dans la formule du moment quadratique, le ressort de traction caractérise la raideur de la matière ... en traction, la rotation c'est la déformée de la poutre soumise à de la flexion etc ... tout cela est très ampoulé, mais j'arrive à "expliquer" le carré dans la formule.

Mais une vrai expérience serait plus utile, cebd, si tu passes par là ...


zapilon, wiki a sa page dédiée au moment d'inertie, mais certaines notions sont un peu troublantes. Dès qu'il s'agit de diagonaliser une matrice, je perds un peu le sens du concret .

O'Leave a écrit:

olivier25, sur la dernière ligne, b³/12 -> b⁴/12 non ? même si cela ne change pas le raisonnement.
.

Exact ! je corrige !

Concernant la page de wiki, il faut distinguer équilibrage statique et équilibrage dynamique. Par rapport au programme de S SI, il est très clairement indiqué que l'on ne s'occupe que de "solide en rotation autour d'un axe fixe, passant par le cdg et principal d'inertie", donc matrice diagonale.


Dans ce truc en rotation dessiné (vite fait) ci-dessus, le cdg est sur l'axe de rotation, donc si on met cet axe à l'horizontale dans le champ de pesanteur, le truc ne va pas changer de position si on l'arrête n'importe où, car aucun couple ne le fait tourner.
Par contre, on imagine facilement qu'on va se prendre des méchants à-coups dans le pivot (imagine que tu fasses tourner le truc dans tes mains) si l'on fait tourner le truc assez rapidement, car l'axe central d'inertie n'est pas confondu avec l'axe de rotation.
Si les deux masselottes étaient en vis-à-vis, alors il n'y aurait pas de problème, car l'axe de rotation deviedrait central d'inertie.
Pratiquement, quand on place des masses pour équilibrer les roues de bagnoles, la machine à équilibre indique de quel côté de la jante placer la masse, de manière à ramener le plus possible l'axe central dans l'axe de rotation de la roue.

... mais on s'écarte du sujet, qui concerne les moments quadratiques

Le moment quadratique est une grandeur (un nombre), qui caractérise la rigidité (l'aptitude à résister à la déformation) d'une pièce, selon une direction donnée,  du fait de sa forme (la répartition de sa matière).
Par exemple, on sent bien qu'un tube de grand diamètre (même peu épais) est plus rigide qu'un tube fin, même plein. La matière située loin de l'axe de flexion participe plus à la rigidité que celle qui est proche (et c'est même au carré de la distance, d'où le terme quadratique).
http://mtkfr.accesmad.org
Le moment quadratique n'est pas un moment de mécanique (= couple = force x distance, en Nm).
La rigidité d'une pièce dépend également de la matière elle même (acier plus rigide que du PVC par exemple pour un même moment quadratique)
Pour le tube, le moment quadratique fait intervenir le diamètre à la puissance 4. Schématiquement, c'est lié au fait que la quantité de matière est liée au carré du diamètre (surface du cercle), et que chaque grain de matière participe au carré de sa distance au centre (donc à nouveau au diamètre).. d'où le puissance 4 en tout.